Derivativos, Limites, Somas e Integrais

As expressões

$$\frac{du}{dt} \mbox{ e } \frac{d^2 u}{dx^2}$$

são obtidas em L^ATEX pela digitação de \frac{du}{dt} e \frac{d^2 u}{dx^2}, respectivamente. O símbolo matemático $\partial$ é produzido usando \partial. Assim a Equação do Calor

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial... ...artial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$$

é obtido em L^ATEX pela digitação de

\[\frac{\partial u}{\partial t}
   = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
      + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
      + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \]

Para se obter expressões matemática, tais como

$$\lim_{x \to +\infty} \mbox{, } \inf_{x > s} \mbox{ and } \sup_K$$

em equações, digita-se \lim_{x \to +\infty}, \inf_{x > s} e \sup_K respectivamente. Assim para se obter

$$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 +7}{x^2 +1} = 3.$$

em L^ATEX, nós digitamos

\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 +7x^3}{x^2 +5x^4} = 3.\]

Para obter um sinal de somatório, tal como

$$\sum_{i=1}^{2n}$$

nós digitamos sum_{i=1}^{2n}. Assim

$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{2} n (n+1).$$

é obtido pela digitação de

\[ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{2} n (n+1).\]

Nós agora discutimos como obter integrais em documentos matemáticos. Uma integral típica é a seguinte:

$$\int_a^b f(x)\,dx.$$

Isto é editado usando

\[ \int_a^b f(x)\,dx.\]

O sinal integral $\int$ é editado usando a sequência de controle \int, e os limites de integração (neste caso a e b) são tratados como sobreescrito e subscrito no sinal de integral.

Muitas integrais ocorrem em documentos matemáticos começando com um sinal de integral e contém uma ou mais instâncias de d seguido por outra letra (latina ou grega), como em dx, dy e dt. Para se obter a aparência correta, pode ser necessário colocar espaço extra antes do d, usando \,. Assim

$$\int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \,dx = n!.$$

$$\int \cos \theta \,d\theta = \sin \theta.$$

$$\int_{x^2 + y^2 \leq R^2} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^R f(r\cos\theta,r\sin\theta) r\,dr\,d\theta.$$

e

$$\int_0^R \frac{2x\,dx}{1+x^2} = \log(1+R^2).$$

são obtidos pela digitação de

\[ \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \,dx = n!.\]

\[ \int \cos \theta \,d\theta = \sin \theta.\]

\[ \int_{x^2 + y^2 \leq R^2} f(x,y)\,dx\,dy
   = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^R
      f(r\cos\theta,r\sin\theta) r\,dr\,d\theta.\]

e

\[ \int_0^R \frac{2x\,dx}{1+x^2} = \log(1+R^2).\]

respectivamente.

Em algumas integrais múltiplas (i.e., integrais contendo mais do que um sinal de integral), pode ser que o L^ATEX coloque muito espaço entre os sinais de integral. A maneira de melhorar a aparência da integral é usar a sequência controle \! para remover uma pequena faixa de espaço indesejável. Assim, por exemplo, a integral múltipla

$$\int_0^1 \! \int_0^1 x^2 y^2\,dx\,dy$$

é obtido pela digitação de

\[ \int_0^1 \! \int_0^1 x^2 y^2\,dx\,dy\]

Caso nós tivéssemos digitado

\[ \int_0^1 \int_0^1 x^2 y^2\,dx\,dy\]

teríamos obtido

$$\int_0^1 \int_0^1 x^2 y^2\,dx\,dy$$

Um exemplo detalhadamente notável surge quando estamos editando uma integral múltipla do tipo

$$\int \!\!\! \int_D f(x,y)\,dx\,dy$$

Aqui nós usamos \! três vezes para obter espaçamento conveniente entre os sinais de integral. Nós editamos esta integral usando

\[ \int \!\!\! \int_D f(x,y)\,dx\,dy.\]

Se tivéssemos digitado

\[ \int \int_D f(x,y)\,dx\,dy.\]

teríamos obtido

$$\int \int_D f(x,y)\,dx\,dy.$$

O trecho seguinte (razoavelmente complicado) exibe em parte as características que nós temos discutido:

Na mecânica de ondas não-relativistica, a função de onda $\psi(\mathbf{r},t)$ de uma partícula satisfaz a Equação de Onda de Schrödinger

$$i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m}... ...y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \psi + V \psi.$$

É costumeiro normalizar a equação de onda pela exigência que

$$\int \!\!\! \int \!\!\! \int_{\textbf{R}^3} \left\vert \psi(\mathbf{r},0) \right\vert^2\,dx\,dy\,dz = 1.$$

Uma simples calculação usando a Equação de onda de Schrödinger mostra que

$$\frac{d}{dt} \int \!\!\! \int \!\!\! \int_{\textbf{R}^3} \left\vert \psi(\mathbf{r},t) \right\vert^2\,dx\,dy\,dz = 0,$$

e portanto

$$\int \!\!\! \int \!\!\! \int_{\textbf{R}^3} \left\vert \psi(\mathbf{r},t) \right\vert^2\,dx\,dy\,dz = 1$$

para todos os valores de t. Se nós normalizamos a função da onda desta maneira. então, para qualquer subconjunto V de R³ que possa ser medido e qualquer tempo t,

$$\int \!\!\! \int \!\!\! \int_V \left\vert \psi(\mathbf{r},t) \right\vert^2\,dx\,dy\,dz$$

representa a probabilidade que a partícula seja encontrada dentro da região V no tempo t.

Isto seria editado em L^ATEX da seguinte forma

Na mecânica de ondas não-relativistica, a função 
de onda $\psi(\mathbf{r},t)$ de uma partícula 
satisfaz a \textit{Equação de Onda de Schr\"{o}dinger}
\[ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
  = \frac{-\hbar^2}{2m} \left(
    \frac{\partial^2}{\partial x^2}
    + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
    + \frac{\partial^2}{\partial z^2}
  \right) \psi + V \psi.\] 
É costumeiro normalizar a equação de onda pela 
exigência que
\[ \int \!\!\! \int \!\!\! \int_{\textbf{R}^3}
      \left| \psi(\mathbf{r},0) 
      \right|^2\,dx\,dy\,dz = 1.\] 
Uma simples calculação usando a Equação de onda 
de Schr\"{o}dinger mostra que
\[ \frac{d}{dt} \int \!\!\! \int \!\!\! 
    \int_{\textbf{R}^3}
    \left| \psi(\mathbf{r},t) 
    \right|^2\,dx\,dy\,dz = 0,\] 
e portanto
\[ \int \!\!\! \int \!\!\! \int_{\textbf{R}^3}
      \left| \psi(\mathbf{r},t) 
      \right|^2\,dx\,dy\,dz = 1\] 
para todos os valores de $t$. Se nós normalizamos 
a função da onda desta maneira, então, para qualquer 
subconjunto $V$ de $\textbf{R}^3$ que possa ser 
medido e qualquer tempo $t$,
\[ \int \!\!\! \int \!\!\! \int_V
      \left| \psi(\mathbf{r},t) 
      \right|^2\,dx\,dy\,dz\] 
representa a probabilidade que a partícula seja 
encontrada dentro da região $V$ no tempo $t$.